dxt/dt=rxt ⇔ xt=x0ert
栄養を豊富に含んだ培地にバクテリアを繁殖させるとどうなるでしょうか。バクテリアはその養分を使って急激に増殖していくでしょう。仮に成長率が現在の個体数に比例するとしたならば、それは指数関数的成長と言います。その増殖速度の指標となるパラメーターとして内的自然増加率rがあります。内的自然増加率rが0より大きいとき、個体数は単調に増加し無限大に発散しますが、0より小さい値であれば個体数は単調に減少し、やがて0に収束します。ぜひ、0より小さいrの値を試してみてください。
実際に数値シミュレーションを行うとわかると思いますが、rが正の数値ならば、この指数関数的成長は最終的に個体数が無限大に発散します。その速度も減衰することはありません。現実の環境でそのようなことがあるかというと、ほとんどないと言って良いでしょう。ただ、十分な栄養などの資源が存在し、それを消耗し尽くすまでに十分に時間がかかる場合は、初期の数世代に限り、このような指数関数的成長曲線でよく近似できることが大腸菌などの生物でわかっています。より現実の環境の条件に合わせたモデルとしてロジスティック成長曲線があります。ロジスティック成長曲線では資源の有限であることが考慮されています。